Gönderen Konu: BİNOM AÇILIMI  (Okunma sayısı 13347 defa)

0 Üye ve 1 Ziyaretçi konuyu incelemekte.

Çevrimdışı MiM

  • ADMiN
  • __HiÇ__
  • *****
  • İleti: 11920
  • "Nerede oLursanız oLun, ALLah sizinLe beraberdir"
BİNOM AÇILIMI
« : Aralık 20, 2008, 04:08:27 ÖS »
BİNOM AÇILIMI
  
İranlı matematikçi, astronom, filozof, şair Ömer Hayyam Nişabur kentinde doğdu. Nişapur' da eğitim gördüğünden ve hayatının çoğunu Semerkand' da geçirdiğinden başka hayatıyla ilgili bilgi yoktur. Sarayda her türlü imkana sahip bir şekilde Şah'ın emrinde çalışmayı reddederek hayatını ilim araştırmaya adamıştır. İlmini genişletmek için zamanın ilim merkezleri olan Semerkand, Buhara, İsfahan'a yolculuklar yapmıştır. 1123 - 1124 yılında Nişapur' da ölmüştür.

Onun katkıda bulunduğu ilimlerin başında cebir gelir. 3. dereceden denklemler de dahil olmak üzere bir çok cebir denklemini sınıflandırmak için uğraşmıştır ve bunların bir kısmına çözüm de bulmuştur." Makalat fi el cebir ve el Mukabele" cebir üzerine bir başyapıttır ve cebirin gelişmesinde büyük öneme sahiptir. Denklemleri karmaşıklıklarına göre sınıflandırır. Nitekim, Hayyam 13 farklı 3. dereceden denklem tanımlamıştır. Denklemleri çoğunlukla geometrik metot kullanarak çözmüştür ve bu çözümler zekice seçilmiş  konikler üzerine dayandırılmıştır. Bu kitabında iki koniğin arakesitini kullanarak 3. dereceden her denklem tipi için köklerin bir geometrik çizimi bulunduğunu belirtir ve bu köklerin varlık koşullarını tartışır.

Bunun yanı sıra Hayyam, binom açılımını da bulmuştur. Aslında binom teoremini ve bu açılımdaki katsayıları bulan ilk kişi olduğu düşünülmektedir. (Pascal üçgeni diye bildiğimiz şey aslında bir Hayyam üçgenidir ). Geometri alanında Öklid' in çalışmaları üzerinde durmuş ve paralel doğrular teoremine katkıda bulunmuştur. Hayyam Öklid' in 5. aksiyomunu yani bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir tek paralel doğru çizilebileceğini ifade eden aksiyomu kanıtlamak için uğraşırken bu aksiyomla üçgenin iç açıları toplamı arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmıştır.

Selçuklu Sulatanı Melikşah, Hayyam' ı Rey' deki gözlemevine çağırmış ve güneş takvimi yapma görevini vermiştir. Hayyam, oldukça doğru bir güneş takvimi yapmıştır. Takvimdeki hata oranı 3770 yılda 1 gündür ve Georgian takvimine göre çok daha kesin bir takvimdir(3330 yılda 1 günlük  hata oranı)

Bir bilim adamı kimliğini ötesinde Hayyam ayrıca çok ünlü bir şairdir. 1839 yılında Edward Fitzgerald Rubailer kitabını İngilizce'ye çevirmiştir ve bu sayede Batı'da tanınmış ve klasikler arasına girmiştir. Bilindiği gibi, şiiri tamamıyla başka bir dile çevirmek neredeyse imkansızdır, özellikle şiir mistik ve felsefi derin anlamlar içeriyorsa.  Buna rağmen, Rubailer kitabının çevirilerinin   bu kadar çok tutulmuş olması Hayyam' ın çok geniş ve zengin bir iç dünyası olduğuna işaret etmektedir.
 




Bana öyle bir resim çiz ki... Gözlerim açıkken değil, kapatınca göreyim!

Çevrimdışı MiM

  • ADMiN
  • __HiÇ__
  • *****
  • İleti: 11920
  • "Nerede oLursanız oLun, ALLah sizinLe beraberdir"
Ynt: BİNOM AÇILIMI
« Yanıtla #1 : Aralık 20, 2008, 04:10:28 ÖS »
x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla

(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+........ .......+C (n,r)xn-ryr+.....+C (n,n)yn

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.



Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.

1 ...............................(x+y)0

1 1 ...........................(x+y)1

1 2 1 ......................(x+y)2

1 3 3 1 ...................(x+y)3

1 4 6 4 1 ...............(x+y)4

Sonuçlar :

1.Açılımda n+1 tane terim vardır.
2.Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n�dir. mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) xn-r yr� de terimi oluşturan xn-r çarpanı ile yr çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n� dir.
3.Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2n
olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 n olduğunu hatırlayınız. Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.

4. Açılım x�in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim ,

C(n,r) xn-r yr �dir.

5.(x+y) 2n açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x�in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn �dir.


Bana öyle bir resim çiz ki... Gözlerim açıkken değil, kapatınca göreyim!

Çevrimdışı MiM

  • ADMiN
  • __HiÇ__
  • *****
  • İleti: 11920
  • "Nerede oLursanız oLun, ALLah sizinLe beraberdir"
Ynt: BİNOM AÇILIMI
« Yanıtla #2 : Aralık 20, 2008, 04:17:25 ÖS »
x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla,

(x+y)^n = c(n,0).x^n + c(n,1).x^(n-1).y + c(n,2).x^(n-2).y^2 +........+ c(n,r).x^(n-r).y^r +.....+ c(n,n).y^n

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir. binom açılımındaki katsayılar paskal üçgeninden bulunur.
   


3.
(a+b)^n = (n 0)(a^n)(b^0) + (n 1)[a^(n-1) . b^1] + (n 2)[a^(n-2) . b²] + ... + (n r)[a^(n-r) . b^r] + ... + (n n)[a^0 . b^n]

ifadesine binom açılımı, bir diğer deyişle de iki terimlinin açılımı denir. bu açılımdaki genel terim (n r)[a^(n-r) . b^r] dir. yani, her terim genel terim gibi kombinasyonlu bir katsayı ile a ve b nin kuvvetlerinden oluşur.

>> açılımda n+1 terim vardır.
>> her terimde a ve b nin üsleri toplamı n dir.

4.
(a+b)^n = (a+b)(a+b)...(a+b)(a+b)(a+b)*

>> a^(n-r).b^r li terim elde edebilmek için, n tane çarpandan n-r tane seçilip çarpılmalı ki, a^(n-r) ifadesi elde edilebilsin.

>> (n-r) tane çarpan c(n, n-r) farklı şekilde oluşturulabilir. bunun için a^(n-r) li terimlerin katsayısı c(n, n-r) oluyor. c(n, n-r) = c(n, r) olduğundan terim, c(n, r) . a^(n-r) . b^r formunda gösterilebilir.
 
5.
(a+b)^n ifadesinin açılımında katsayılar;

(n 0).(n 1).(n 2).(n 3). ... .(n n) dir.

>> başlangıç sıfır olduğundan baştan k. terim için, r = k - 1 olur.

>> baştan k. terimde katsayı; c(n, k-1) olur.

6.
(a+b)^n ifadesinin açılımında katsayılar sondan başa sırayla;

(n n).(n n-1).(n n-2).(n n-3). ... .(n 0) dır.

>> başlangıç n olduğundan sondan k. terim için, r = n - k + 1 olur.

>> sondan k. terimdeki katsayı; c(n, n-k+1) olur.
   
7. n çift olmak üzere, binom açılımında ortanca terim için r = n/2 formülü kullanılır

8.
n çift olmak üzere, binom açılımında ortanca terim için r = n/2 formülü kullanılır.

>> n tek olduğunda terim sayısı çift olacağından mütevellit, ortanca terim olamaz.

>> c(n, r) . a^(n-r) . b^r olur.
   
9.
binom açılımında k . x^y li terimi bulmak için;

c(n, r) . a^(n-r) . b^r = k . x^y

formülünde verilenler yerine yazılarak, bilinmeyen bulunabilir.



Bana öyle bir resim çiz ki... Gözlerim açıkken değil, kapatınca göreyim!

GoogleTagged


 

Related Topics

  Konu / Başlatan Yanıt Son İleti
ŞİRK AÇILIMI

Başlatan MizGiNa_İsLaM_ Güncel haberler

2 Yanıt
1258 Gösterim
Son İleti Ekim 11, 2009, 12:24:58 ÖÖ
by MizGiNa_İsLaM_

Powered by SMF 2.0.4 | SMF © 2006–2011, Simple Machines LLC
TinyPortal © 2005-2012 | Theme Lamartine by Smfdesign | Sosyal Bilgiler | Dizi izle | film izle | film izle | dizi izle | dizi izle | dizi izle | modelleri | Çimstone Fiyatları | Full Film izle
Bu sayfa 0.431 saniyede 33 sorgu ile oluşturulmuştur